Ce document propose, dans le chapitre de géométrie (nommé ES comme Espace) de 9CO, les objectifs suivants :
Reconnaissance, dénomination, description des propriétés et construction de :
- droites parallèles, droites perpendiculaires
- hauteur, médiatrice, bissectrice
- médiane, cercles inscrits et circonscrits (seulement pour les niveau 1)
La médiatrice et la bissectrice sont vues en tant que lieux géométriques, c’est-à-dire comme l’ensemble des points à égale distance de deux points, respectivement de deux droites. La hauteur, quant à elle, est définie comme la droite passant par un sommet d’un triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Nous voyons aussi que la médiane est réservée aux élèves de niveau 1, de même que les cercles inscrits et circonscrits.
Je me pose deux questions :
- pourquoi ne pas demander d’étudier directement les cercles circonscrit et inscrit, aussi en niveau 2, alors que les médiatrices et bissectrices sont définies comme lieux géométriques ?
- pourquoi étudier la hauteur sans savoir à quoi elle sert ?
Cercles inscrit et circonscrit
La difficulté, en 9CO, c’est la notion de lieu géométrique. La définition est assez complexe pour des élèves qui n’ont aucune notion de géométrie. Ils savent tracer des droites, des cercles, faire quelques constructions simples, mais au niveau de la « véritable » géométrie, c’est plutôt le néant. Pour eux, une droite, c’est un trait, et un point, c’est un point, ils ne considèrent pas la droite comme une infinité de points. Voilà déjà la première difficulté. Lorsqu’on leur parle de « l’ensemble de tous les points… » il y a un blocage. Pour tenter de le lever, j’utilise une activité assez efficace avec Geogebra, que je présente dans cet autre article.
Une fois que les élèves ont intégré cette notion de lieu géométrique, fait des exercices du genre « Touver le trésor caché à égale distance de la plage et de la rivière », la notion de cercle inscrit et de cercle circonscrit n’est pas difficile, et se réduit à la simple vérification que le point trouvé est bien à égale distance des trois sommets (ou côtés) du triangle. Alors pourquoi ne pas le faire ? Je ne sais pas, et je le fais avec mes classes de niveau 2.
Hauteur
Autre droite remarquable du triangle, la hauteur. Déjà que les élèves ont tendance à confondre la médiatrice et la bissectrice, on leur rajoute la hauteur et ils mélangent tout. J’ai constaté l’année dernière qu’en n’étudiant pas la hauteur dans le chapitre ES, il y a beaucoup moins de confusion. Évidemment. J’introduis donc cette droite dans le chapitre où elle est utile, c’est-à-dire en Grandeurs et mesures. Je ne parle donc, à ce moment, pas uniquement de la hauteur d’un triangle, mais aussi d’un parallélogramme et d’un trapèze.
Ainsi, la hauteur n’est plus définie comme la droite passant par un sommet d’un triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet, mais la distance entre les deux bases (parallélogramme et trapèze). Par extension, pour un triangle, c’est la distance entre une base et le sommet opposé, un peu comme si celui-ci était une base de longueur zéro (et le triangle un trapèze à 3 côtés…).
Définie ainsi, les élèves comprennent l’angle droit : la hauteur, c’est la distance entre deux droites parallèles (ou entre un point et une droite), elle est donc perpendiculaire aux droites. C’est d’ailleurs la bonne occasion de parler à nouveau de distance !
En bref
Voilà en résumé ce que je fais avec ces droites remarquables :
- chapitre Espace : médiatrice et bissectrice, cercles circonscrit et inscrit, mais pas la hauteur
- chapitre Grandeurs et mesures : la hauteur en tant que distance entre les bases, et je garde évidemment cette définition pour la hauteur d’un prisme, d’un cylindre ou d’une pyramide !
Cette façon de faire est bien plus logique, elle évite la confusion puisque l’élève fait des liens entre l’objet et son utilisation.
Bonjour et merci pour cet article. Très bonne idée pour la hauteur !
En ce moment j’aborde avec ma fille le concept de cercle circonscrit. Elle me demande a quoi il sert concrètement…?
Concrètement, à rien tant qu’on n’en a pas besoin! C’était la réponse de mon prof de maths il y a quelques décennies 🙂 C’est toujours difficile de répondre, en maths, à la réponse « à quoi ça sert? » parce qu’effectivement, dans la vie de tous les jours, c’est assez rare de tracer un cercle circonscrit! Alors soit on essaie de trouver des utilités genre « comprendre la notion de médiatrice, le centre est à égale distance des trois sommets), soit on se dit que les maths c’est aussi, parfois, juste pour entraîner un peu l’esprit…